Le paradoxe de Condorcet apparaît lorsque les préférences d’une majorité forment un cycle : le groupe préfère A à B, B à C et, pourtant, C à A. Chaque comparaison a un vainqueur clair, mais l’ensemble ne produit pas d’alternative qui domine toutes les autres.
Le résultat semble étrange parce que chaque votant peut conserver un ordre parfaitement cohérent. La difficulté surgit lors de l’agrégation de ces préférences au moyen de votes par paires. Un exemple avec trois personnes et trois alternatives permet de le constater étape par étape.
De la préférence individuelle au résultat collectif
Supposons qu’une personne préfère A à B et B à C. Si elle préfère également A à C, son ordre est transitif. La transitivité évite une préférence circulaire dans laquelle A serait meilleur que B, B meilleur que C et C meilleur que A pour cette même personne.
La règle de la majorité par paires compare deux alternatives à la fois. A bat B si davantage de votants préfèrent A ; ensuite, on peut comparer B à C et C à A. Le problème est que les majorités gagnantes ne sont pas nécessairement composées des mêmes personnes lors de chaque duel.
C’est pourquoi la transitivité individuelle ne garantit pas la transitivité du résultat collectif. Le cycle ne démontre pas que les votants soient incohérents : il montre qu’une règle d’agrégation peut combiner des ordres cohérents et produire une relation sociale intransitive.
Idée clé : Le paradoxe ne se trouve pas dans la tête de chaque votant. Il apparaît lorsque l’on convertit plusieurs préférences individuelles en une décision collective au moyen de la majorité par paires.
L’exemple de A, B et C
Trois votants doivent classer trois alternatives. Leurs préférences sont :
- Votant : 1 ; Premier choix : A ; Deuxième choix : B ; Troisième choix : C
- Votant : 2 ; Premier choix : B ; Deuxième choix : C ; Troisième choix : A
- Votant : 3 ; Premier choix : C ; Deuxième choix : A ; Troisième choix : B
Chaque ligne est transitive. Le votant 1 préfère A à B et B à C, ainsi que A à C. Il en va de même, selon un autre ordre, pour les votants 2 et 3. Comparons maintenant les alternatives deux à deux.
A contre B
Le votant 1 préfère A. Le votant 2 préfère B. Le votant 3, dont l’ordre est C, A, B, préfère A. Par conséquent, A bat B par 2 voix contre 1.
B contre C
Le votant 1 préfère B. Le votant 2 préfère également B. Le votant 3 préfère C. Ainsi, B bat C par 2 voix contre 1.
C contre A
Le votant 1 préfère A. Le votant 2, qui place C avant A, préfère C. Le votant 3 préfère également C. Par conséquent, C bat A par 2 voix contre 1.
Le résultat complet est A > B, B > C et C > A. Si l’on tente de classer les alternatives de la plus préférée à la moins préférée, on revient au point de départ. C’est là le cycle majoritaire décrit dans la littérature sur le choix social et associé à l’ouvrage que le marquis de Condorcet a publié en 1785.
Ce n’est pas une égalité. Dans les trois confrontations, il y a une victoire de 2 contre 1. La difficulté réside dans le fait qu’aucun vainqueur partiel ne l’emporte sur tous ses rivaux.
Idée clé : Un cycle et une égalité sont des problèmes distincts. Dans le cycle, chaque duel peut se résoudre clairement, mais les victoires ne forment pas un ordre collectif stable.
Qu’est-ce qu’un vainqueur de Condorcet ?
Un vainqueur de Condorcet est une alternative qui bat à la majorité chacune des autres lors de comparaisons par paires. Si A battait à la fois B et C, A remplirait cette condition.
Dans l’exemple précédent, un tel vainqueur n’existe pas : A perd face à C, B perd face à A et C perd face à B. Cela permet de distinguer trois idées souvent confondues :
- Le paradoxe de Condorcet est l’apparition du cycle majoritaire.
- Le critère de Condorcet exige de choisir le vainqueur par paires lorsqu’il existe.
- Les méthodes de Condorcet sont des procédures concrètes pour classer ou choisir des alternatives ; elles peuvent différer, surtout lorsqu’il n’y a pas de vainqueur de Condorcet.
Le terme ne désigne donc pas un système électoral unique. Il ne fait pas non plus du vainqueur de Condorcet un gagnant inévitable sous n’importe quelle règle : d’autres procédures peuvent décompter ou transférer les voix différemment.
Quand l’ordre de vote modifie le dénouement
Bien que le cycle empêche d’identifier un vainqueur qui domine toutes les options, il reste possible de prendre une décision si l’on ajoute une règle. Imaginons un vote séquentiel : deux options s’affrontent d’abord et la gagnante concourt ensuite avec la troisième.
Si A affronte d’abord B, A l’emporte ; ensuite, C bat A, de sorte que C finit par gagner. Si B affronte d’abord C, B l’emporte ; ensuite, A bat B et finit par gagner. Si C affronte d’abord A, C l’emporte ; ensuite, B bat C et finit par gagner.
Dans cette procédure concrète, chaque alternative peut gagner selon l’ordre des confrontations. L’ordre du jour — ce qui est voté en premier et quelle option passe au tour final — acquiert alors une importance politique. Non pas parce que toute élection serait toujours contrôlée par son ordre du jour, mais parce que, face à ce profil cyclique et à cette règle séquentielle, l’ordre altère le résultat.
Un tirage au sort, un tour supplémentaire ou un quelconque critère de notation permettraient d’aboutir à une décision. Mais ce recours intègre une information ou une règle supplémentaire : il n’élimine pas le cycle qui existe dans les comparaisons majoritaires initiales.
Avertissement institutionnel : Lorsqu’il n’y a pas d’alternative dominante, fixer l’ordre du jour ou le mécanisme de départage distribue également du pouvoir. Des règles transparentes permettent de savoir à l’avance qui décide et dans quelles limites.
Ce que le paradoxe dit — et ce qu’il ne dit pas —
Le paradoxe montre une possibilité logique de l’agrégation collective. Il n’établit pas la fréquence à laquelle ces cycles apparaissent dans les élections réelles. Il ne prouve pas non plus que « la majorité soit irrationnelle », qu’il soit impossible de décider ou que tout système démocratique soit condamné à la manipulation.
Sa leçon est plus précise : parler d’une unique préférence du groupe peut masquer la façon dont la procédure transforme des préférences différentes en un résultat. Dans les décisions collectives, la délibération compte, mais les règles qui convertissent des positions individuelles en un choix contraignant comptent également.
C’est ici que s’insère une mise en garde libérale classique : une décision collective n’existe pas en dehors de ses institutions. Si l’ordre du jour et les départages peuvent influencer le vainqueur, il convient que ces prérogatives soient définies, visibles et soumises à des limites. Le paradoxe ne constitue pas une objection automatique à la démocratie, mais une raison d’examiner ses procédures sans leur attribuer une neutralité inexistante.
Condorcet n’est pas Arrow
Le paradoxe de Condorcet et le théorème d’impossibilité d’Arrow relèvent de la théorie du choix social, mais ils n’affirment pas la même chose. Condorcet met en évidence la façon dont la majorité par paires peut engendrer un cycle même lorsque chaque individu a des préférences transitives.
Arrow a formulé un résultat plus général : sous certaines conditions spécifiques, il n’existe aucune règle d’agrégation capable de transformer tous les classements individuels possibles en un classement social complet et transitif tout en respectant simultanément ces conditions. Le cycle de Condorcet aide à appréhender intuitivement le problème, mais il ne remplace pas le théorème ni ne constitue à lui seul sa démonstration.
La conclusion utile est circonscrite et, précisément pour cette raison, importante. Trois majorités claires peuvent pointer dans trois directions incompatibles. Lorsque cela se produit, la décision finale dépend d’une règle supplémentaire. Rendre cette règle explicite ne crée pas une volonté collective parfaite, mais permet de discuter de la procédure, d’anticiper ses effets et de limiter le pouvoir discrétionnaire de ceux qui l’administrent.
Sources
- Nicolas de Condorcet, Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (1785), notice bibliographique.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, « Arrow’s Theorem ».
- MIT OpenCourseWare, « Condorcet’s Paradox and Arrow’s Impossibility Theorem ».
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